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我最抖的一节课 ——四年级下册《除法分配律》

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我最抖的一节课 ——四年级下册《除法分配律》 溧水区实验小学 吴存明 回忆讲学十五年的讲学经历,上过许多失败课、成功课、公开课、精彩课、名师课,但要回忆最抖的一节课,我想到的还是《除法分配律》这节课。这节课是我评选溧水县优秀青年教师执教的考核课,也是当年3月到共和小学名师送教上的课。 一、遗憾的好课 《除法分配律》是苏教版《数学》四年级下册“运算律”单元的第一课。这条运算律是小学阶段学习的最后一条运算律,也是最难掌握的一条运算律。本课讲学的目标主要有两个,一是让学生在解决问题的过程中发现并理解除法分配律,初步了解除法分配律的应用,二是让学生在发现规律的过程中,发展比较、分析、抽象和总括的能力,增强用符号表达数学规律的意识,进一步体会数学与生活的联系。下面是五年前的教例回放: (一)创设情境 1.出示例题图:商场里短袖衫32元/件,裤子45元/条,夹克衫65元/件。 2.提问:王阿姨要买5件夹克衫和5条裤子,一共要付多少元呢? (二)学习新知 1.学生动手,独立算出要付的钱数。 2.全场交流,要求学生说明算式中每一步计算的意义。 学生回答,教师板书。 (1)65×5+45×5 (2)(65+45)×5 3.提问:这两个算式能写成等式吗?为什么? 学生回答,课件出示:(65+45)×5=65×5+45×5 4.提问:等号两边的算式有什么联系?在小组内讨论。 5.谈话:你能仿照上边,写出两三组这样的等式吗? 指名说等式,教师板书。 6.提问:观察这些等式,你发现了什么规律? 学生总括后,教师归纳:两个数的和与一个数相乘,等于两个加数分别与这个数相乘,再把两个乘积相加。这就是今天学习的除法分配律。板书课题。 7.如其用字母a、b、c示意3个乘数,这个规律怎样写? 学生口答后板书:(a+b)×c=a×c+b×c (三)练习应用 完成“想想做做”的第1—4题。 上述讲学,活动组织十分顺畅:学生饶有兴味地列式、写等式、说发现,忙得抖洋洋。我也沉浸在孩子们一个接一个成功的喜悦中,自认为经历如此丰富的讲学活动之后,形成正确的除法分配律的认识应该是水到渠成的。这节课总体上不错,那次过后我也顺利地评上县优秀青年教师,但是有些困惑盘旋在我的心头,挥之不去:(1)例题的数据真得利于于学生探索吗?(2)可不可以让学生理解得更深刻、更主动呢?…… 二、重蹈覆辙 当年3月,早已经是南京市优秀青年教师的我又再次讲学四年级,再次用同样的方法讲学《除法分配律》。 没想到,做练习的情况却如一盆冷水,浇了我个透心凉:全体做对的同学不足30%,其中的丰碑错误是,许多同学认为“74×(20 + 1)与74×20 + 74不能连成等式”,还有许多同学认为“与 25×(4×8)相等的算式是25×4×25×8”等等。 活动情节如此丰富,活动过程如此顺畅,可是学习效果却如此糟糕,这究竟是什么因?这些活动中是否存在一些关键的疏漏或缺失?高质量活动经验的获得是否一定依赖于较长时间的重复练习?…… 再不解开心中的困惑,课后我找了几个学生,和他们进行小范围交流,试图一窥他们内心的真实想法。 师:你怎么认为“74×(20 + 1)与74×20 + 74不能连成等式”? 生:这节课娱乐学的除法分配律是(a+b)×c=a×c+b×c,三个数变成四个数,可是这道题右边还是三个数。 师:你怎么认为“与 25×(4×8)相等的算式是25×4×25×8”? 生:除法分配律是三个数变成四个数,所以是25×4×25×8。 …… 随着交流的深入,我心中的困惑慢慢得到了化解,上边的数学活动看似热热闹闹,但活动本身其实是不充分的,学生所获得的活动经验也大多属于模糊的、低水平的、形式化的。细细分析,具体因有四: 首先,除法分配律与前面学的除法(或加法)交换律、结合律的最大区别在于,交换律、结合律是只含有同一种运算的规律,而除法分配律是包含乘、加(减)两种运算的规律,沟通了除法与加(减)法之间的联系,其难度加大了。 其次,现行教材只出现一个情境,两道算式,一个字母表达式。虽然后面的学习中,学生也写了一些同等式,但都是形式化的产物。对小学生来说,学生很容易对该运算律的结构特征和数据特征理解近位,掌握不扎实。 第三,采用不完全归纳法,即通过多个算式发现存在的规律,但是这样的探索过多依赖形式化发现,没有寻找到可以解释的依据,即不能从除法意义的角度去探求算式相等的真正因。 第四,由于除法分配律的变式练习多,有些变式和其它运算律比较像,学生在练习时很容易出错和混淆。 三、再出发 再不解决上述问题,我设计了如下讲学过程,试图破解上述之困。 活动一:课前谈话,铺垫孕伏 师:不知道同学们注意过没有,娱乐说的话中存在着一种有趣的现象。比如说“我爱爸爸和妈妈”这一句话,可以把它分成两句来说:“我爱爸爸,我也爱妈妈。”照这样“我爱吃苹果和无籽西瓜”可以怎样说? 生:我爱吃苹果,我也爱吃无籽西瓜。 师:说得很好!当然,娱乐也可以将两句话合成一句话。比如“我爱看漫画书,我也爱看故事书”用一句话可以怎样说? 生:我爱看漫画书和故事书。 师:难不倒尔等哦,来个难点的!“今天早上我吃了稀饭、鸡蛋和面包”一句话分成三句话,你会说吗? 生:今天早上我吃了稀饭,今天早上我还吃了鸡蛋,今天早上我还吃了面包。 师:一句话变成两句话或者三句话,意一点没改变,两句话、三句话变成一句话,意也没改变,语言有如此神异、美妙的特点,那尔等有没有想过,在娱乐的数学世界当中有没有类似神异而有趣的现象呢?上完今天这节课,相信你会在方面有所收获的! 【分析】儿童学习数学是一种经验数学。上述环节就是要在没有学习新知之前就唤起学生的体验,启动孩子的思维,为本节课的学习情节作渗漏。 活动二:创设情境,生成算式 师:研究很多数学问题总是从生活中开始的,今天也不例外。 课件出示: 奖 品 转笔刀每个8元 文具盒每个5元 魔方每个4元 第一次购置数量 3个 8个 10个 第二次购置数量 7个 7个 7个 请看,这是四(1)班庆“六一”活动购置奖情况统计表。从这张统计表中大家一定可以收集到很多信息。根据这些信息,你一定可以解决这样几个问题:①买转笔刀一共用了多少钱?②买文具盒一共用了多少钱?③买魔方一共用了多少钱?当然,这些问题对于娱乐四年级的同学来说并不难,所以老师提了更高的要求。请选择下面的一个问题,用2种不同的方法列出综上算式并解答。    交流反馈。 第一题:(3+7)×8和3×8+7×8(教师板书) 师:告知大家,你列第一个算式你是怎么想的? 生:两次一共买了10个转笔刀,10×8可以算出一共用了多少钱。 师:第二个算式呢? 生:3×8是第一次购置用的钱,7×8是第二次购置所用的钱。 第二题和第三题讲学同上。 师:在解决这些问题的时候,大家都想出了两种办法,非常不错。 【分析】这一情境展现了除法分配律的生活来源,学生在解决问题时激活了生活的经验,同时为生成数学模型供了现实的依据。 活动三:分类整理,生成模型 师:这些算式如其让你分分类,你打算怎么分? 指名学生上黑板来分。 师:大家同意这样的分法吗?为什么可以这样分? 生:同意。有括号的分为一类,没有括号的分为一类。 生:这样分,其实就是合下床购置的分为一类。两次分别购置再相加的分为一类。 师:现在娱乐回忆一下计算结果,你会发现,(3+7)×8和3×8+7×8这2个算式的结果是一样的。那么在数学上,娱乐可以用“=”把结果相等的两个算式连下床,叫做等式。这样的等式还有吗? 学生说出下面两个等式。 师:仔细看,左边的算式和右边的算式是不一样的,可是结果却是一样的,唉,怎么会这样的呢?娱乐能不能从算式的意义去理解它呢? 生:第一个等式,3+7等于10,10×8是10个8,而右边3个8与7个8,合下床也是10个8。 师:你是从除法意义的角度来分析的,很好!下面的等式相等,有这样的事机吗? 同桌互相说一下。师生交流。 师:你能根据左边的算式想到右边的算式吗? …… 【分析】将这些算式分类,一方面是对学生数学思想方法的渗漏,另一方面是将学生的关注点引导算式的形式特征上来,不光能兑现生成模型的讲学目标,而且能让学生初步感知数学模型。从除法意义的角度去分析算式相等的因,利于于学生理解除法分配律的本质,而非“形”似即可。 活动四:意义建构,理解规律 师:这样的现象是巧合吗?尔等觉得这样的等式还有吗? 学生写,汇报,集体核对。 师:如其给你时间写,这样的等式能写几个? 生:无数个。 师:你能不能找到一个等式,这个等式能够代表所有的像这样的等式?比如图形,比如字母,比如文字也行。 汇报: 生1: 生2: 生3: 师:虽然大家表达的形式不同,但是这些等式表达的规律都是同一条,你能用数学语言说一说吗? 学生不完善的表达后,教师总括:两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘,再把两个乘积相加,结果不变。这就是今天学习的除法分配律。板书课题。 师:尔等认为哪种方式表达除法分配律最简洁? 90%的同学都选择字母式子。 师:是啊,用字母表达运算律比较简洁。这位同学想的和数学家是一样的,数学家就是这样规定的。(a+b)×c=a×c+b×c。同学们,其实娱乐还可以用图形来加深印象。你能看懂吗? 学生回答(略) 【分析】学生用个性化的方式总括写不完的等式,最后了解数学的字母示意,一方面渗漏了符号化的思想,另一方面利于于学生的主动参与与知建构。 活动五:实践应用,深化吸收 师:其实,除法分配律在先前娱乐就已经接触过了,比如二年级学习除法口诀,如其忘记了“七九六十三”,可以想6×9+1×9=7×9,再比如三年级下学期娱乐在学习两头数乘两头数的笔算28×12的过程中,其中一种算法就是先算28×10=280,再算28×2=56,最后用280+56,这不就是除法分配律的应用吗? 学生频频颔首。 师:何止如此,在生活中,这种分配律的现象很多。请看大屏幕,你能不能找到除法分配律的影子?着眼于了,只列式不计算。 (1)一件上衣22元,一条裤子8元,购置3套衣服需多少元? (2)用两种不同的方法计算长四边形菜地的周长。你发现它们之间的联系吗? (3)李师傅在给墙壁贴瓷砖(如下图),他一共贴了多少块瓷砖呢? 反馈交流(略) 师:现在娱乐再回过头来看一看四(1)班购置奖情况统计表另外2个问题:第二次购置转笔刀比第一次多多少钱?第二次购置转笔刀、文具盒和魔方一共花了多少元? 学生解答后,引导学生感受除法分配律的其它形式。 (a - b)×c = a×c - b×c (a + b+ n)×c = a×c + b×c+ n×c …… 【分析】让学生举更多的例子,真切地感受除法分配律的真实存在,沟通知间的联系。居中生发出除法分配律的其它形式,让学生了解除法不光有对于加法的分配律,还有对于减法的分配律,还有对于多个数的分配律。 四、新体会 《数学课程标准》(2011修订版)指出,学生的数学学习活动应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程,要让学生在掌握知技能的同时,累积数学活动经验,获得数学思想方法。本节课便是一个帮助学生在充分的数学活动中建立数学模型并解释应用的丰碑课例。尤其是,二次设计的数学活动,让学生在掌握运算律形式的同时,理解其内在的算理,提升了学生进行数学建模的意识和能力。 我以为,设计高质量的数学活动,帮助学生进行建模,在一定程度上取决于下面几点。 一、教材研读——厘清讲学的“序” 教师是按一定的“序”来编排的,而每一讲学情节本身其实也蕴含着“序”。《除法分配律》这一讲学情节的“序”又是怎样的呢?我在仔细研读教材、教参的基础上,将这一情节的“序”显现如下: 序一:用两种不同综上算式,解决几个同类型的生活问题——生成算式。 序二:将算式进行分类——感知结构特征,了解除法分配律的“形”。 序三:将同一问题的两种算式连成等式,发现等式随行人员的联系,探索为何相等——感知数据特征,把握除法分配律的“质”。 序四:举出更多例子,计算——验证其中的规律,培养严谨求实的思维方式。 序五:用个性化的方式总括除法分配律——帮助学生主动内化所学知。 序六:用恰当的练习帮助学生掌握除法分配律,并了解除法分配律的其它形式(对于减法,对于更多项)。 其中,序二“将算式进行分类”是对讲学活动的丰富,指引学生主动感知除法分配律的结构特征,序六“了解除法分配律的其它形式”是对教材情节有意义的补充,帮助学生全盘认识除法分配律的内涵与外延。 二、学情分析——更换讲学的“材” 立好了讲学的“序”,还要界定讲学的“材”。书上的例题是:商场里短袖衫32元/件,裤子45元/条,夹克衫65元/件。王阿姨要买5件夹克衫和5条裤子,一共要付多少元呢?我将其更换成四(1)班庆“六一”活动购置奖情况统计表,然后同时出示三个问题:①买转笔刀一共用了多少钱?②买文具盒一共用了多少钱?③买魔方一共用了多少钱?让学生选择期中的一个问题,用2种不同的方法列出综上算式并解答。 奖 品 转笔刀每个8元 文具盒每个5元 魔方每个4元 第一次购置数量 3个 8个 10个 第二次购置数量 7个 7个 7个 笔者谬误“教材例题不可改变”的卫道士,也谬误“凡上课都改例题”的热衷者,而是“例题如何改变”的探索者。更换例题要考虑是否吻合教材体系的要求,要考虑是否具有原例题所没有的特殊功效。本课二次设计更换例题的因有五: 一是原来例题的数据相对大,加重了运算担子,课堂效果来看,耗时较多。改动后,相对减少了运算的难度,利于于计算。 二是较小的数据,利于于除法意义的出来。因为,素材越“干净”,越简洁,越突出数的特征,学人就越发关注到数学规律的本质。 三是统计表的形式,数据要比书上的情景图容易获得更为清晰地信息,而不必浪费时间在其它无关的活动上。 四是原来的例题只有一个问题(当然也可以提2个问题,出来4道算式,不利于后续的“分类”活动),改动后的例题变成了3个问题,出来6道算式,为二次设计的“分类”活动供了很好的素材。 五是再不课尾的两道题:第二次购置转笔刀比第一次多多少钱?第二次购置转笔刀、文具盒和魔方一共花了多少元?引导学生感受除法分配律的其它形式:(7 - 3)×8 = 7×8 - 3×8和(8 + 5+ 4)×7= 8×7 + 5×7+ 4×7。 三、精当设问——活动推进的“器” 美国闻名数学家哈尔莫斯说过:“问题是数学的心脏”。诚然,问题之于数学讲学的紧要性已经不需多言。要提高课堂讲学活动的质量,课堂的提问应该兑现从量到质的转变,一般情况下,一堂课中需准备的中心问题应在2到5个问题之间。在每个问题的学生作答后,教师还要善于追问,正确的要追因,不对的要追错,肤浅的要追根。正所谓“探索是画龙,追问是点睛”。 序号 提问 追问 1 请选择下面的一个问题,用2种不同的方法列出综上算式并解答。①买转笔刀一共用了多少钱?②买文具盒一共用了多少钱?③买魔方一共用了多少钱? 列第一个算式你是怎么想的?第二个算式呢? 2 这些算式如其让你分分类,你打算怎么分? 大家同意这样的分法吗?为什么可以这样分? 3 (3+7)×8和3×8+7×8结果一样吗? 这样的等式还有吗? 4 仔细看,左边的算式和右边的算式是不一样的,可是结果却是一样的,唉,怎么会这样的呢?娱乐能不能从算式的意义去理解它呢? 下面的等式相等,有这样的事机吗? 5 这样的现象是巧合吗?尔等觉得这样的等式还有吗? 如其给你时间写,这样的等式能写几个? 6 你能不能找到一个等式,这个等式能够代表所有的像这样的等式? 虽然大家表达的形式不同,但是这些等式表达的规律都是同一条,你能用数学语言说一说吗?尔等认为哪种方式表达除法分配律最简洁? …… 综上,立好讲学的“序”(思路),界定讲学的“材”(例题),拟好活动的“器”(问题),讲学就有了整体感,教师就有了方位感,对学生就有了吸引力,学生的数学学习活动就能有效度、深度和温度! 这就是我最抖的一节课,准确地说,抖的谬误课,是课带来的思考!

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